Tajomstvo Sure čísel: farbenie čísel a matematická výzva

Viete, že existuje spôsob, ako farbiť čísla od 1 do nekonečna tak, aby ste nikdy nemali tri čísla rovnakej farby, kde súčet dvoch z nich je rovný tretiemu? Toto je podstatou Sure čísel – fascinujúceho konceptu, ktorý sa objavuje v teórii grafov a kombinatorike. V tomto článku sa pozrieme na to, čo sú Sure čísla, ako fungujú a prečo ich hľadanie predstavuje obrovskú matematickú výzvu. Video od Numberphile s Sophie Maclean nám ponúka pohľad do tohto sveta číselných farieb a logických hádok.

Čo sú Sure Čísla?

Sure čísla, alebo sure numbers, sa týkajú problému farbenia čísel tak, aby sme predišli špecifickej situácii: nemali by sme tri čísla rovnakej farby (označme ich A, B a C), kde platí A + B = C. Predstavte si, že máte množinu čísel od 1 do n a chcete ich rozdeliť na skupiny pomocou dvoch alebo viacerých farieb. Cieľom je nájsť najväčšie n, pre ktoré toto farbenie bez spomínanej situácie existuje.

Kľúčové poznatky z videa

• S1 = 2: Ak používame iba jednu farbu, sure číslo je 2, pretože 1 + 1 = 2.
• S2 = 5: Prvé sure číslo pre dve farby je 5. Môžeme sfarbiť čísla od 1 do 4 dvoma farbami (napríklad ružovou a zelenou), ale pri pokuse o sfarbenie čísel od 1 do 5 už túto podmienku nedokážeme splniť.
• S4 = 45: sure číslo pre štyri farby je 45. Môžeme sfarbiť až 44 čísiel, ale ak pridáme ďalšie (45.), pravidlo sa poruší.
• Brute Force a S5: Výpočet sure čísla S5 vyžadoval rozsiahle počítačové simulácie („brute force“), čo ho robí jedným z najväčších matematických „dôkazov“ v tomto zmysle. Hodnota S5 je 161.
• Odhad pre S6: Vedci odhadujú, že sure číslo pre šesť farieb (S6) bude okolo 485.

Farbenie čísel: Jednoduché príklady a výzvy

Začneme jednoduchým príkladom s dvoma farbami a číslami od 1 do 4. Môžeme sfarbiť číslo 1 ružovo, číslo 2 zelenou, číslo 3 môže byť oboch farieb a číslo 4 musí byť ružové. Toto je platné farbenie, pretože neexistujú tri čísla rovnakej farby, ktoré by spĺňali podmienku A + B = C.

Keď sa pokúsime sfarbiť čísla od 1 do 5 dvoma farbami, narazíme na problém. Ak sfarbíme 1 a 2 rovnakou farbou (napríklad ružovou), potom musí byť 3 inej farby (zelenej). Ale ak sfarbíme 4 ružovo, vznikne situácia: 1 (ružová) + 3 (zelená) = 4 (ružová). To znamená, že nemôžeme sfarbiť čísla od 1 do 5 dvoma farbami a zároveň sa vyhnúť porušeniu pravidla.

Monochromatický trojuholník a dôkaz existence

Video tiež spomína fascinujúci koncept „monochromatického trojuholníka“ a jeho spojitosť so sure číslami. Tento koncept vychádza z predošlého videa o „priateľoch a neznámych“. Ukazuje, že v skupine šiestich ľudí musí existovať traja, ktorí sú buď všetci priatelia alebo všetci neznámi. Toto sa dá preložiť do teórie grafov ako existencia monochromatického trojuholníka – trojice vrcholov v grafe, ktoré sú všetky spojené jednou farbou.

Dôkaz existence sure čísel spočíva práve v tomto princípe. Aj keď je ťažké nájsť konkrétne sure číslo pre daný počet farieb, vieme, že také číslo existuje.

Výpočty a budúcnosť sure čísel

Hľadanie sure čísel je výpočetne náročné. Napríklad, určenie S5 (sure čísla pre päť farieb) si vyžadovalo rozsiahle počítačové simulácie. Výsledok – 161 – bol považovaný za jeden z najväčších matematických „dôkazov“ v tomto zmysle, pretože zahŕňal overenie obrovského množstva možností.

Vedci teraz odhadujú, že S6 (sure číslo pre šesť farieb) bude okolo 485. Výskum sure čísel pokračuje a predstavuje vzrušujúcu výzvu pre matematikov a počítačových vedcov.

Zdroje a odkazy

• The Friends and Strangers Theorem: https://youtu.be/xdiL-ADRTxQ

Približne 180 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.90 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.