Tajomstvo Harshadových čísel: zábavná matematika
Objavte fascinujúci svet Harshadových čísel! Ide o celé čísla deliteľné sumou svojich cifier, s prekvapivými vzťahmi a nečakanými výnimkami. Zábavná matematika, ktorá poteší!
V poslednom videu od Numberphile sa Tony Padilla zaoberá fascinujúcim konceptom nazývaným Harshadové čísla. Ako už názov napovedá, ide o čísla, ktoré prinášajú radosť – alebo aspoň zábavu pri ich skúmaní! Ide o celé čísla deliteľné sumou svojich cifier. Video sa ponorilo do histórie tohto konceptu, jeho vlastností a prekvapivých vzťahov s inými matematickými javmi. Od jednoduchého vysvetlenia až po zložitejšie úvahy o trans-Harshadových číslach a admorfických číslach, toto video ponúka pohľad do sveta čísel, ktorý je zároveň zábavný a poučný.
Kľúčové poznatky
- Definícia: Harshadové číslo (tiež známe ako Nivenovo číslo) je celé číslo deliteľné sumou svojich cifier. Napríklad 2025 je Harshadové číslo, pretože 2 + 0 + 2 + 5 = 9 a 2025 / 9 = 225.
- Pôvod názvu: Slovo "Harshad" nepochádza z mena matematika, ale zo sanskrtského slova, ktoré znamená „joygiver“ (dajúc radosť).
- Trans-Harshadové čísla: Čísla 1, 2, 4 a 6 sú trans-Harshadové – sú Harshadové v každej číselnej sústave.
- Admorfické čísla: Sú to Harshadové čísla, kde posledná cifra je rovnaká ako suma všetkých ostatných cifier.
- Spojitost s deliteľnosťou 9: Každé číslo je kongruentné súčtu jeho cifier modulo 9, čo vysvetľuje prečo sa Harshadové čísla často nachádzajú medzi násobkami deviatky.
Čo robí číslo Harshadovým?
Základom konceptu Harshadových čísel je jednoduchý výpočet: zistíme sumu všetkých cifier v danom čísle a potom overíme, či sa pôvodné číslo dá bez zvyšku deliť touto súčtom. Ak áno, gratulujeme – máme pred sebou Harshadové číslo!
Tony Padilla vo videu uvádza príklad svojho dátumu narodenia (1976). Po spočítaní cifier zistíme, že 1 + 9 + 7 + 6 = 23. Keďže 1976 nie je deliteľné 23, jeho dátum narodenia nie je Harshadové číslo.
Faktoriály a ich zvláštna povaha
Faktoriály (teda n! = 1 * 2 * 3 * ... * n) sú často Harshadové čísla, pretože majú veľa faktorov. Napriek tomu sa stáva prekvapivé veci: napríklad 432! nie je Harshadové číslo. Toto ukazuje, že aj v zdánlivo jednoduchých matematických konceptoch sa môžu skrývať nečakané výnimky.
Nekonečno a vzory v Harshadových číslach
Je zaujímavé, že existuje nekonečný počet Harshadových čísel. Hoci ich hustota klesá s rastúcou veľkosťou čísla, nikdy sa nevyskytnú len tak náhodne. Vedci zistili vzory a špecifické usporiadania týchto čísel. Napríklad dokázali, že neexistujú bloky 21 po sebe idúcich Harshadových čísel.
Trans-Harshadové čísla: Špeciálny prípad
Čísla 1, 2, 4 a 6 majú niečo výnimočné – sú trans-Harshadové. To znamená, že sú Harshadové v každom číselnom systéme. Predstavte si to takto: bez ohľadu na to, či používame desiatkový (základ 10), binárny (základ 2) alebo iný systém, tieto čísla vždy splnia definíciu Harshadového čísla.
Admorfické čísla a ich zvláštna vlastnosť
Admorfické čísla sú podmnožinou Harshadových čísel s ďalšou zaujímavou vlastnosťou: posledná cifra čísla je rovnaká ako suma všetkých ostatných cifier. V desiatkovej sústave existuje len jedno číslo, ktoré nie je admorfické – a to 11.
Zhrnutie a úvahy do budúcnosti
Harshadové čísla predstavujú príklad toho, ako aj v zdánlivo jednoduchých matematických konceptoch sa dajú nájsť zaujímavé vzory a prekvapivé vlastnosti. Toto video nám ukázalo, že matematika môže byť zábavná a prináša radosť z objavovania. Či už ide o hľadanie Harshadových čísel v našom dátume narodenia alebo skúmanie trans-Harshadových čísel, svet matematiky je plný prekvapení.
Zdroje a odkazy
- On Consecutive Niven Numbers (paper): https://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf
- Additive bases and Niven numbers (paper): https://arxiv.org/abs/2101.07593
Hodnotenie článku:
Tajomstvo Harshadových čísel: zábavná matematika
Osoby v článku
Približne 98 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.49 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.
Komentáre ()