Polyominá na šachovniciach: matematika a riešenie hádanky

V tomto videu z Numberphile sa Sophie Maclean ponára do sveta polyominov, tvarov zložených z viacerých spojených štvorcov. Začína od základných konceptov – od jednoduchého jedného štvorca (oneino) až po komplexnejšie tvary ako Tetris kocky (tetromino). Hlavnou témou je skúmanie toho, či a ako môžeme tieto polyominá umiestňovať na šachovnicu. Video predstavuje zaujímavé hádanky a dôkazy, ktoré ukazujú, kedy je možné pokryť šachovnicu a kedy nie.

Čo sú to vlastne Polyominá?

Polyominá sú geometrické tvary vytvorené spojením viacerých štvorcov hrany na hranu. Najznámejšie príklady sú Tetris kocky, ale existujú aj menšie a väčšie varianty. Jednoino je len jeden štvorček, domino (dvoino) pozostáva z dvoch štvorčekov spojených vedľa seba, a tak ďalej. Počet štvorcov v polyomino určuje jeho názov – napríklad pentomino má päť štvorcov.

Hádanka so šachovnicou a domínami

Sophie začína zaujímavou hádankou: Môžeme pokryť štandardnú 8×8 šachovnicu pomocou domín? Na prvý pohľad sa to zdá jednoduché, pretože šachovnica má 64 políčok a každé domino pokrýva dve políčka. Avšak, Sophie ukazuje, že nie vždy je to možné.

Prečo to nie je vždy možné? Šachovnicu môžeme klasicky sfarbiť na striedajúce sa biele a čierne polia. Keďže odstránime dva rohy (obe sú biele), ostane nám viac bielych políčok ako čiernych. Každé domino pokrýva jedno biele a jedno čierne políčko, takže nemôžeme pokryť šachovnicu s nerovnakým počtom bielych a čiernych políčok.

Odstránenie políčok: Kedy je to možné?

Sophie ďalej skúma, čo sa stane, ak odstránime iné polia zo šachovnice. Zistí, že ak odstránime jedno biele a jedno čierne políčko, pokrytie domínami je možné. Ukazuje jednoduchý spôsob, ako to urobiť – umiestniť domina cez rady.

Polyominá a farby: Ďalšie výzvy

Video sa presúva k trinomínom (tvar zložený z troch štvorcov). Sophie ukazuje, že pokrytie šachovnice trinomínami je nemožné, pretože počet políčok na šachovnici nie je deliteľný tromi. Potom skúma možnosť odstránenia jedného štvorca a zisťuje, kedy je možné pokryť šachovnicu.

Tetromino: Posledná hádanka

Sophie sa nakoniec zaoberá tetromínami (štvoroštvorcovými tvarmi). Ukazuje, že existujú rôzne typy tetromín a skúma, či je možné umiestniť všetky typy na šachovnicu. Zistí, že ak odstránime správne polia, pokrytie je možné.

Kľúčové poznatky

• Polyominá: Geometrické tvary vytvorené spojením štvorcov hrany na hranu.
• Domina a šachovnica: Pokrytie šachovnice domínami je možné len ak odstránime rovnaký počet bielych a čiernych políčok.
• Trinomina: Pokrytie šachovnice trinomínami je nemožné, pretože počet políčok nie je deliteľný tromi.
• Tetrominá: Existujú rôzne typy tetromín a ich umiestnenie na šachovnici závisí od odstránených políčok.

Zhrnutie a odporúčania

Video „Polyominoes on Chessboards“ je fascinujúci pohľad do sveta matematiky a hádaniek. Sophie Maclean nám ukazuje, ako sa jednoduché tvary môžu kombinovať na vytvorenie komplexných problémov s prekvapivými riešeniami. Ak vás zaujíma geometria, logické myslenie alebo len zábavná matematika, toto video určite stojí za pozretie. Odporúčam vyskúšať si niektoré z hádaniek sami a experimentovať s umiestňovaním polyominov na šachovnicu – možno aj vy objavíte nové zaujímavosti!

Zdroje

• Originálne video
• Otvorené pozície :: Jane Street
• Pentominoes and other Polyominoes - Numberphile - YouTube
• The Snakey Hexomino unsolved Tic-Tac-Toe problem - Numberphile - YouTube
• Sophie Maclean on Numberphile - YouTube
• Sofia, Matematická štatistika
• Numberphile | Vytváranie videí | Patreon
• Domov :: Jane Street
• delo.org
• Číslofilovia
• Číslofilovia
• Reddit – srdce internetu
• Blog Bradyho Harana
• Periodické Videá

Približne 151 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.76 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.