Paradóxia narodenín: Prečo stačí len 23 ľudí?

Viete, že ak je v izbe len 23 ľudí, je pravdepodobnejšie, že dvaja z nich majú narodeniny v rovnaký deň ako to, že ich nikto nezdieľa? Znie to šialene, však? V tomto videu od Numberphile sa Tom Crawford zaoberá takzvanou „paradoxiou narodenín“ a vysvetľuje, prečo je táto matematika naozaj zaujímavá. Poďme sa na to pozrieť bližšie!

Kľúčové poznatky

• Paradóxia narodenín: Pravdepodobnosť, že dvaja ľudia v skupine majú rovnaké narodeniny, je vyššia, ako si myslíme.
• Kritická hranica: Už pri 23 ľuďoch je pravdepodobnosť viac ako 50%, že sa niekto s niekým narodí v ten istý deň.
• Špecifické narodeniny vs. akékoľvek narodeniny: Pravdepodobnosť, že dvaja ľudia majú rovnaké konkrétne narodeniny (napríklad 6. decembra), je oveľa nižšia a vyžaduje si omnoho väčšiu skupinu ľudí.
• Futbalový príklad: Futbalové tímy často majú 23 hráčov, čo ilustruje, ako sa táto pravdepodobnosť prejavuje v reálnom svete.

Ako to funguje?

Na začiatku sa môže zdať, že je veľmi nepravdepodobné, že dvaja ľudia zdieľajú narodeniny. Veď máme 365 dní v roku! Ale keďže počítame s čoraz väčšou skupinou ľudí, pravdepodobnosť, že niekto zdieľa narodeniny s niekým iným, rýchlo rastie.

Výpočet je trochu zložitejší, pretože najprv musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nikto nezdieľa narodeniny a potom ju odtiahneme od 1. Tom Crawford vo videu používa logaritmy na zjednodušenie výpočtu. Používa tiež aproximáciu pomocou mocninovej rady pre logaritmus, čo ešte viac uľahčuje prácu s číslami.

Prečo je to paradox?

Paradox spočíva v tom, že náš prvotný odhad pravdepodobnosti je často veľmi ďaleko od skutočnosti. Intuitívne si myslíme, že budeme potrebovať oveľa viac ľudí, aby sa zdieľala narodenina. Ale matematicky to tak nie je!

A čo konkrétne narodeniny?

Je dôležité rozlišovať medzi pravdepodobnosťou, že dvaja ľudia majú rovnaké akékoľvek narodeniny a pravdepodobnosťou, že dvaja ľudia majú rovnaké konkrétne narodeniny (napríklad 6. decembra). V druhom prípade je pravdepodobnosť oveľa nižšia. Potrebovali by sme omnoho väčšiu skupinu ľudí, aby sme mali viac ako 50% šancu, že niekto sa narodí práve 6. decembra.

Zhrnutie a úvahy

Paradóxia narodenín je fascinujúci príklad toho, ako matematika môže odhaliť skryté vzorce v našom svete. Ukazuje nám, že naše intuície nás môžu klamať a že niekedy musíme použiť matematiku na pochopenie reality okolo nás. A možno nabudúce, keď budete v izbe s 23 ľuďmi, zamyslíte sa nad tým, ako je pravdepodobné, že dvaja z vás majú narodeniny v rovnaký deň!

Zdroje

• Originálne video
• Birthdays on Pluto extra footage - Numberphile - YouTube
• 23 and Football Birthdays - Numberphile - YouTube
• Tom Crawford on Numberphile - YouTube
• TOM JE MATIKA – Matematika, ale nie taká, akú poznáte...
• Tom Rocks Maths - YouTube
• delo.org
• Číslofilovia
• Reddit – srdce internetu
• Blog Bradyho Harana

Približne 125 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.63 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.