Očakávaná hodnota: Ako vznikla teória pravdepodobnosti

V tomto videu sa dozvieme fascinujúci príbeh o tom, ako hľadanie spravodlivého rozdelenia cien v jednoduchej hazardnej hre viedlo k objaveniu jedného z najdôležitejších konceptov v teórii pravdepobnosti: očakávanej hodnoty. Blaise Pascal a Pierre de Fermat sa snažili nájsť férové riešenie, ktoré nebolo o náhodnom štarte, ale o spravodlivosti. Poďme sa pozrieť na to, ako táto cesta k spravodlivosti viedla k základom teórie pravdepobnosti.

Problém bodov: Ako začala revolúcia v náhodnosti?

Predstavte si hru, kde vy a váš priateľ hádžete mincu. Ak padne strana s úsmevom, získate bod, ak padne strana s kriedou, získa váš priateľ bod. Prvý, kto dosiahne tri body, vyhrá 100-eurovú cenu. Hra je prerušená predtým, ako niekto vyhrá. Ako spravodlivo rozdelíte túto cenu? Táto jednoduchá otázka bola katalyzátorom pre vznik teórie pravdepobnosti.

Hoci náhodnosť už dávno existovala – ľudia ju využívali pri hazardovaní, náboženských rituálach a dokonca aj na predpovedanie budúcnosti pomocou magickej gule – matematické základy teórie pravdepobnosti sa začali formovať až v 16. a 17. storočí.

Hľadanie spravodlivého rozdelenia: Prvé návrhy

Najjednoduchšie riešenie by bolo dať celú sumu peňazí človeku, ktorý má momentálne viac bodov. Ale čo ak hráte na 1000 bodov a váš priateľ vyhrá len jeden bod? Zdá sa to nespravodlivé, pretože obaja ste stále ďaleko od víťazstva.

V roku 1494 jeden taliansky matematik navrhol rozdelenie ceny v pomere k počtu získaných bodov. Ak ste vyhrali dva body z troch, dostali by ste približne 67 percent ceny a váš priateľ 33 percent. Toto sa zdá ako lepšie riešenie, ale aj tu existujú problémy.

Predstavte si, že máte 999 bodov a váš priateľ len 900. Podľa tohto pravidla by ste dostali asi 53 percent ceny, zatiaľ čo váš priateľ 47 percent. No vy potrebujete iba jeden bod na výhru, zatiaľ čo váš priateľ potrebuje sto! Zdá sa nespravodlivé rozdeliť cenu takto, keď je vaša šanca na víťazstvo takmer istá.

Hľadanie do budúcnosti: Pascal a Fermat

Namiesto toho, aby sme sa zamerali na to, koľko bodov už získali, mali by sme sa pozrieť do budúcnosti a zvážiť, koľko bodov každý hráč ešte potrebuje na výhru. Blaise Pascal a Pierre de Fermat v roku 1654 vymieňali sériu listov o tomto probléme. Obaja dospeli k záveru, že spravodlivým riešením je priemerná hodnota všetkých možných budúcich hier.

Medziľudská dôvera verzus nerovnosť príjmov

Fermat si všimol, že hra sa skončí maximálne po dvoch hádzaniach mincou a existujú iba štyri možné scenáre. V troch z nich vyhráte vy a v jednom váš priateľ. Pretože všetky výsledky sú rovnomerne pravdepodobné, Fermat usúdil, že by ste mali dostať tri štvrtiny ceny (75 eur) a váš priateľ jednu štvrtinu (25 eur).

Pascal dospel k rovnakému záveru, ale zameriaval sa na jedno hádzanie mincou do budúcnosti. Ak vyhráte ďalšie hádzanie, získate celú cenu. Ak remizujete, rozdelíte si peniaze 50:50. Preto tvrdí, že by ste mali dostať 75 eur a váš priateľ 25 eur.

Očakávaná hodnota: Základ teórie pravdepobnosti

Pascal a Fermat sa snažili presvedčiť jeden druhého o správnosti svojich argumentov prostredníctvom série listov, ale nakoniec dospeli k rovnakému záveru: spravodlivé riešenie spočíva v zohľadnení očakávanej hodnoty. Tento koncept ovplyvňuje takmer každý aspekt nášho života – od rozhodnutia, či si priniesť dáždnik až po investície do nehnuteľnosti a dokonca aj to, kedy si vypiť šálku kávy.

Kľúčové poznatky:

• Problém bodov: Hľadanie spravodlivého rozdelenia cien v prerušenej hazardnej hre viedlo k vzniku teórie pravdepobnosti.
• Očakávaná hodnota: Spravodlivé riešenie spočíva v priemere všetkých možných budúcich výsledkov hry.
• Pascal a Fermat: Dvaja matematickí velikáni, ktorí nezávisle dospeli k rovnakému záveru o očakávanej hodnote.
• Aplikácia v živote: Koncept očakávanej hodnoty ovplyvňuje naše každodenné rozhodnutia.

Odporúčania a úvahy:

Tento príbeh ukazuje, ako sa matematické koncepty môžu vyvinúť z jednoduchých otázok o spravodlivosti. Teória pravdepobnosti je základom mnohých moderných technológií a aplikácií, od finančného modelovania až po umelú inteligenciu. Zamyslime sa nad tým, ako tieto koncepty ovplyvňujú naše životy a rozhodnutia.

Referencie:

• Ten Great Ideas about Chance, Persi Diaconis and Brian Skyrms
• The Emergence of Probability, Ian Hacking
• The Science of Conjecture, James Franklin
• Games, Gods, and Gambling, F.N. David

Približne 139 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.70 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.