Matematika a evolúcia: Modelovanie správania

Erik Christopher Zeeman v svojej prednáške z roku 1978, súčasť série Vianočných prednášok Kráľovskej inštitúcie, presvedčivo ukazuje silu matematiky pri modelovaní prírodných javov. Prednáška sa pohybuje od čistých matematických princípov k aplikovaným modelom, ktoré nám umožňujú pochopiť a dokonca predpovedať správanie komplexných systémov – od jednoduchých hier s kockami až po zložité dynamiky populácií v prírode. Zeeman nás vedie cez rozlíšenie diskrétnych a kontinuálnych javov, predstavuje koncepty teórie hier a demonštruje, ako matematické modely môžu osvetliť evolučné procesy a dokonca naznačovať vzorce v ľudskom správaní.

Kľúčové poznatky

• Matematické modelovanie: Abstraktný preklad komplexných javov do matematických termínov, overovanie pomocou teórií a následný návrat k interpretácii výsledkov.
• Diskrétne vs. Kontinuálne javy: Rozlíšenie medzi systémami s oddelenými časťami (diskrétne) a tými, kde sa deje plynule (kontinuálne).
• Teória hier: Použitie matematiky na analýzu interakcií medzi jednotlivcami alebo entitami v strategických situáciách.
• Evolučné modely: Matematické reprezentácie evolučných procesov, ktoré umožňujú pochopiť vývoj správania a stratégií v populáciách.
• Odplatkovci (Retaliatory): Koncept zo sveta zvierat, ktorý ukazuje, ako odplata môže viesť k stabilite populácie a ovplyvniť evolúciu.

Diskrétne javy: Hra s kockami a poistenie

Začneme jednoducho – hrou s kockami. Zeeman ilustruje, ako aj takáto zdánlivá triviálna hra môže byť analyzovaná pomocou pravdepodobnosti a teórie hier. Pascal a Fermat už dávno dokázali, že očakávaná strata pri každom hode je 1/6. Táto jednoduchá matematika odhaľuje základné princípy riadenia rizika.

Neskôr sa prednášajúci dotýka konceptu poistenia ako mechanizmu na zmiernenie strát. Prispôsobením pravdepodobností a výplat je možné dosiahnuť zisk, aj keď spočiatku vyzerá situácia nepriaznivo. Tento príklad demonštruje silu matematiky pri riešení praktických problémov v oblasti financií a riadenia rizika.

Kontinuálne javy: Od kyvadla po zvuk trúbky

Prechodom k kontinuálnym javom sa prednášajúci zamýšľa nad správaním kyvadla, ktoré vyžaduje použitie kalkulu a diferenciálnych rovníc na jeho presné modelovanie. Newtonove zákony pohybu nám umožňujú pochopiť orbitu planét – ďalší príklad kontinuálneho systému.

Zaujímavý je aj kontrast medzi kontinuálnymi javmi, ktoré sa správajú kontinuálne (napríklad vlny na vode), a tými, kde sa objavuje diskrétnosť v rámci kontinuálneho systému. Práve toto pozorovanie vedie k fascinujúcemu prípadu zvuku trúbky – harmonické výšky, ktoré skáčú namiesto plynulého prechodu. Tento jav bude neskôr preskúmaný pomocou teórie katastrof.

Hra Dovie a Jastrabi: Evolúcia správania sa

Jednou z najvýznamnejších častí prednášky je model hry "Dovie a Jastrabi". Tento model, vyvinutý Maynardom Smithom a Priceom, slúži na pochopenie evolučného vývoja správania sa v populáciách živočíchov. Hra simuluje interakciu medzi jedincami, ktorí si môžu vybrať medzi pokojným prejavom (Dovie) alebo agresívnou eskaláciou (Jastrabi).

Pomocou matice odmien je možné analyzovať výsledky rôznych kombinácií stratégií. Prednášajúci ukazuje, že v dlhodobom horizonte sa stabilizuje populácia zložená z 2/3 Jastrabov a 1/3 Dovie. Tento jav je vizualizovaný pomocou grafu s atraktorovým bodom, ktorý demonštruje stabilitu systému.

Neskôr sa model rozšíri o tretí typ – Odplatkovcov (Retaliatory), ktorí reagujú na agresiu agresiou. Táto zmena vedie k dramatickým zmenám v dynamike populácie a vytvára komplexný štvorrozmerný priestor, reprezentovaný tetraédrom.

Retaliatory: Evolučná výhoda a ľudské inštinkty

Odplatkovci majú evolučnú výhodu – ich potomstvo je tiež odplácavé, čo vedie k Darwinovmu výberu a postupnej dominancii nad ostatnými stratégiami. To vysvetľuje prečo sa v prírode vyvinuli rôzne formy prejavov, ako sú postojové techniky u zvierat.

Zeeman priamo spája tento model s ľudským správaním – zdvorilé interakcie, ktoré sa môžu rýchlo zmeniť na inštinktívnu odvetu. Tento pohľad naznačuje, že aj my sme dedili evolučné inštinkty od našich predkov.

Zamyšlenia a odporúčania

Prednáška Erika Christophera Zeemana je fascinujúcim príkladom toho, ako matematika môže osvetliť komplexné javy v prírode a spoločnosti. Použitie teórie hier a matematických modelov nám umožňuje pochopiť evolučné procesy, riadiť riziko a dokonca naznačovať vzorce v ľudskom správaní.

Prednáška nás povzbudzuje k hlbšiemu zamysleniu nad tým, ako matematika formuje naše porozumenie sveta okolo nás. Je to pripomienka toho, že aj zdánlivé abstraktné matematické koncepty môžu mať hlboký a praktický dopad na naše životy.

Referencie

• Maynard Smith, J., & Price, G. R. (1973). The logic of animal conflict. Nature, 246(542), 15–18.
• The Royal Institution: https://www.rigb.org/christmas-lectures

Približne 172 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.86 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.