Od ruského sporu k algoritmu Google: matematika ovplyvnila svet

Video od Veritasium nám prináša fascinujúci príbeh o ruskom matematickom spore z roku 1905, ktorý paradoxne položil základy pre niektoré z najdôležitejších technológií dnešnej doby – vrátane algoritmu Google. Od sporu medzi matematikmi Nekrasovom a Markovom cez vývoj metódy Monte Carlo až po PageRank, video odhaľuje nečakanú súvislosť medzi teoretickou matematikou a praktickými aplikáciami v oblasti počítačovej vedy a umelnej inteligencie.

Kľúčové poznatky

• Nekrasov vs. Markov: Spor o interpretáciu zákona veľkých čísel, ktorý mal zásadný dopad na chápanie náhody a predikcie.
• Markovove reťaze: Inovatívny prístup k modelovaniu závislých udalostí, demonštrovaný analýzou textu Eugena Onegina.
• Metóda Monte Carlo: Aplikácia Markovových reťazí na simuláciu komplexných systémov, ako je jadrová štiepenie a výpočet množstva uránu potrebného pre atómovú bombu.
• PageRank a Google: Inšpirácia Markovovými reťazami pri tvorbe algoritmu PageRank, ktorý zmenil spôsob vyhľadávania na internete.
• Prediktívny text a moderné jazykové modely: Princípy Markovových reťazí sú základom pre dnešné pokročilé systémy predikcie textu a generovania obsahu.

Od sporu v Rusku k revolúcii v matematike

Začiatok 20. storočia, Rusko – politické napätie medzi caristami a socialistami sa odzrkadľuje aj na vedeckej scéne. Pavel Nekrasov, známy ako "Cár pravdepodobnosti", tvrdil, že matematika môže vysvetliť slobodnú vôľu a Božiu vôľu. Jeho názory však čelili kritike Andreja Markova, ktorý presadzoval oddelenie matematiky od náboženstva.

Srdcom sporu bol zákon veľkých čísel (dokázaný Bernoulli), ktorý popisuje konvergenciu stochastických procesov k očakávanej hodnote za predpokladu nezávislých udalostí. Nekrasov argumentoval, že pozorovanie tejto konvergence implikuje nezávislosť, čím sa pokúšal prepojiť matematiku so slobodnou vôľou. Markov však túžil dokázať, že zákon veľkých čísel platí aj v prípade závislých udalostí – a práve to ho prinútilo k inovatívnemu prístupu.

Markovove reťaze: Predikcia na základe závislosti

Markovova genialita spočívala v tom, že sa zameral na modelovanie závislých udalostí. Aby demonštroval svoju teóriu, analyzoval text Alexandra Puškina Eugena Onegina. Zistil, že kombinácie samohlások v texte nie sú náhodné – niektoré sekvencie sa vyskytujú častejšie ako iné. Tento jav ukázal, že písmená v texte nie sú nezávislé a môžu byť modelované pomocou reťazca závislostí.

Markov následne vytvoril "predikčný stroj", ktorý využíval prekrývajúce sa dvojice písmen na predpovedanie ďalšieho znaku v texte. Tento prístup demonštroval, že aj závislé udalosti môžu podliehať zákonu veľkých čísel a tým otváral nové možnosti pre modelovanie komplexných systémov.

Metóda Monte Carlo: Od jadrovej štiepenia k simuláciám

Ulam, ktorý sa zotavoval z ochorenia, aplikoval Markovove reťaze na štúdium správania sa neutrónov pri jadrovej štiepení a inšpirovaný kartovými hrami vyvinul metódu Monte Carlo. Táto metóda využíva náhodné vzorkovanie na simuláciu komplexných systémov, ktoré by bolo inak ťažké alebo nemožné riešiť analyticky.

Von Neumann rýchlo pochopil potenciál metódy Monte Carlo a použil ju na odhad množstva uránu potrebného pre vytvorenie atómovej bomby. Táto aplikácia ukázala praktický význam teoretickej matematiky v kritických oblastiach, ako je jaderná technológia.

PageRank: Google a dedičstvo Markovových reťazí

V 90. rokoch minulého storočia Larry Page a Sergey Brin vyvíjali algoritmus pre vyhľadávanie na internete. Inšpirovaní systémom knižničných pečiatok, ktoré slúžili ako "odporúčania" od iných používateľov, vytvorili PageRank – algoritmus, ktorý hodnotil dôležitosť webových stránok na základe počtu a kvality odkazov na ne.

PageRank v podstate modeloval internet ako Markovovu reťaz, kde webové stránky predstavujú stavy a odkazy medzi nimi reprezentujú prechody. Tento prístup umožnil Google efektívne zoradiť výsledky vyhľadávania podľa ich relevancie a dôležitosti.

Moderné jazykové modely: Predikcia textu v digitálnom veku

Claude Shannon ďalej rozvinul Markovove reťaze experimentovaním s predpovedaním textu pomocou čoraz dlhších sekvencií – od jednotlivých písmen až po celé slová. Dnešné pokročilé jazykové modely, ako GPT-3 a podobné, využívajú rovnaký princíp: modelujú text ako Markovovu reťaz a predpovedajú ďalší token (písmeno, slovo alebo interpunkcia) na základe predošlého kontextu.

Moderné modely však pridávajú "mechanizmy pozornosti", ktoré im umožňujú prioritizovať relevantné časti vstupu pri predikcii, čím sa výrazne zlepšuje presnosť a koherencia generovaného textu.

Zamyslenie a odporúčania

Príbeh ruského matematického sporu a jeho vplyv na moderné technológie je fascinujúci príklad toho, ako teoretické poznatky môžu mať prekvapivé a hlboké praktické dôsledky. Od jadrovej energie po vyhľadávanie na internete – matematika hrá kľúčovú úlohu pri riešení komplexných problémov a formovaní sveta okolo nás.

Pre tých, ktorí sa chcú dozvedieť viac o Markovových reťazoch a ďalších matematických konceptoch, odporúčame navštíviť stránku Brilliant.org, ktorá ponúka interaktívne kurzy a výzvy v oblasti matematiky, fyziky, programovania a AI.

Referencie

• https://ve42.co/RefsMarkov

Približne 163 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.82 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.