Enneaéder: Tajomstvo Herschelovho polyédra

V najnovšom videu od Numberphile sa Christian Lawson-Perfect zaoberá fascinujúcim objektom – Herschel polyéderom. Tento deväťstranný tvar, pomenovaný po Alexanderovi Herschelovi a umiestnený v budove s jeho menom na Newcastle University, skrýva prekvapivé matematické vlastnosti. Odhalenie toho, že ide o najmenší ne-Hamiltonovský polyéderový graf, až po zistenie skrytej D6 symmetry, toto video ponúka pohľad do sveta geometrie a teórie grafov, ktorý je zároveň krásny a náročný. Lawson-Perfect sa delí o svoj proces vytvárania fyzického modelu tohto objektu, od prvotných neúspechov až po finálnu realizáciu pomocou štvorcových romboidov a kite-tvarovaných plôch.

Kľúčové poznatky

• Herschel polyéder: Deväťstranný polyhedron pomenovaný po Alexanderovi Herschelovi, ktorý je najmenším ne-Hamiltonovským polyéderovým grafom s 11 vrcholmi.
• Hamiltonovské grafy: Grafy, v ktorých existuje cesta navštevujúca každý vrchol presne raz a vracajúca sa do výchozieho bodu. Herschel polyéder takýto graf nie je.
• Bipartičné grafy: Grafy, ktoré možno rozdeliť na dve množiny vrcholov tak, že každá hrana spája vrchol z jednej množiny s vrcholom z druhej. Bipartičnosť implikuje ne-Hamiltonovskosť.
• D6 symetria: Herschel polyéder vykazuje skrytú D6 symetriu (podobnú hexagonu), ktorá sa spočiatku nebola očividná.
• Konštrukcia modelu: Lawson-Perfect opisuje proces vytvárania fyzického modelu, ktorý si vyžadoval algebraické výpočty a experimentovanie s rôznymi tvarmi plôch.

Čo je to Herschel polyéder a prečo je taký zaujímavý?

Herschel polyéder nie je len ďalším polyhedronom; jeho význam spočíva v jeho ne-Hamiltonovskosti. Hamiltonovské grafy sú dôležité v teórii grafov, pretože predstavujú cesty, ktoré navštívia každý vrchol presne raz a vrátia sa do výchozieho bodu. Predstavte si to ako cestovanie po mestách – chcete navštíviť každé mesto raz a potom sa vrátiť domov. Ak taká cesta existuje, graf je Hamiltonovský. Herschel polyéder však túto vlastnosť nemá, čo z neho robí najmenší príklad ne-Hamiltonovského polyéderového grafu.

Bipartičnosť a jej prekvapivý vplyv

Lawson-Perfect vysvetľuje, že Herschel polyéder je bipartičný – to znamená, že jeho vrcholy možno rozdeliť do dvoch množín tak, že každá hrana spája vrchol z jednej množiny s vrcholom z druhej. A tu prichádza prekvapenie: ak je graf bipartičný, nemôže byť Hamiltonovský! Tento fakt poskytuje elegantné vysvetlenie, prečo Herschel polyéder neposkytuje cestu navštevujúcu každý vrchol presne raz a vracajúcu sa do výchozieho bodu.

Od náčrtov k fyzickému modelu: Cesta Lawson-Perfecta

Proces vytvárania fyzického modelu Herschel polyédra bol pre Lawson-Perfecta náročný. Začínal s jednoduchými papierovými modelmi, ktoré sa však ukázali ako nepresné. Neskôr využil algebraické výpočty na určenie výšok vrcholov a zabezpečenie rovinnosti štvorcových plôch. Finálny model je kombináciou štvorcových romboidov a kite-tvarovaných plôch, ktoré demonštrujú skrytú D6 symetriu polyhedronu – vrátane možností rotácie o tri uhly.

Zaujímavosti a súvislosti

Lawson-Perfect spomína na zaujímavú súvislosť s tetraédrami: existuje len jeden spôsob, ako kombinovať tri tetraédry. Tieto drobné poznámky pridávajú k celkovej fascinácii Herschel polyéderom a naznačujú rozsiahlejšie matematické vzťahy, ktoré sa skrývajú v geometrii.

Zameranie na budúcnosť: Geometria a teória grafov

Herschel polyéder je len jedným z mnohých príkladov fascinujúcich geometrických tvarov a konceptov, ktoré skúmajú matematikovia. Toto video nám pripomína krásu a komplexnosť sveta okolo nás a inšpiruje k ďalším otázkam o základných zákonoch, ktoré riadia vesmír.

Zdroje:

• Aperiodical blog post: https://aperiodical.com/2013/10/an-enneahedron-for-herschel/
• Thingiverse model: https://www.thingiverse.com/thing:248603

Približne 102 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 0.51 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.