Dierovaná príšera: Od kocky k zložitým mnohostenom

Predstavte si, že držíte v ruke kocku. Všetky jej strany sú rovnaké, hrany sú zameniteľné, rohy takisto. Je to symbol dokonalej symetrie. Čo sa však stane, keď tieto prísne pravidlá začneme porušovať? Keď do dokonalej geometrie pridáme trochu chaosu a… diery? Populárno-vedecký kanál Numberphile nás v jednom zo svojich videí berie na fascinujúcu cestu do sveta mnohostenov, ktorá vrcholí pri objekte s príznačnou prezývkou „Dierovaná príšera“ (The Holey Monster). Pripravte sa na dobrodružstvo, ktoré mení pohľad na bežné tvary a odhaľuje nekonečnú kreativitu matematiky.

Kľúčové poznatky

• Evolúcia mnohostenov: Cesta začína pri dokonalých Platónskych telesách, pokračuje cez Archimedove a Johnsonove telesá, kde sa postupne uvoľňujú pravidlá symetrie.
• Toroidy – tvary s dierami: Vrcholom tejto cesty sú toroidy, mnohosteny s jednou alebo viacerými dierami, ktoré skúmal matematik Bonnie Stewart vo svojej ručne písanej a ilustrovanej knihe „Adventures among the Toroids“.
• Pravidlá pre nedokonalosť: Na štúdium týchto zložitých tvarov vyvinul Stewart koncept „kvázi-konvexnosti“, ktorý zaisťuje, že aj tieto „dierované“ objekty majú jasne definovanú štruktúru.
• Honba za rekordmi: Stewart sám vytvoril toroid so 46 dierami, prezývaný „Dierovaná príšera“. Tento rekord bol neskôr prekonaný a dnes sa špekuluje, že počet takýchto telies je síce konečný, ale astronomicky vysoký.

Cesta od dokonalosti k dieram

Naša cesta do sveta komplexných tvarov sa začína pri základoch, ktoré pozná takmer každý – pri Platónskych telesách. Kocka, štvorsten, osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten sú kráľmi geometrie. Ich definícia je prísna: každý mnohosten musí byť zložený z rovnakých, pravidelných mnohouholníkov a všetky jeho hrany a vrcholy musia byť navzájom zameniteľné. Sú stelesnením dokonalej symetrie.

Čo sa však stane, ak jedno z pravidiel porušíme? Ak povolíme, aby boli steny tvorené rôznymi typmi pravidelných mnohouholníkov (napríklad trojuholníkmi a štvorcami), dostaneme novú triedu objektov – Archimedove telesá, ako napríklad zrezaná kocka. Ak ideme ešte ďalej a upustíme aj od požiadavky celkovej symetrie, otvorí sa nám svet, ktorý v roku 1966 zmapoval Norman Johnson. Identifikoval presne 92 takzvaných Johnsonových telies – konvexných mnohostenov zložených výlučne z pravidelných mnohouholníkov, ktoré však nepatria medzi Platónske ani Archimedove telesá.

Vstup do sveta toroidov

Všetky doteraz spomenuté tvary majú jednu spoločnú vlastnosť – sú konvexné, teda nemajú žiadne priehlbiny ani diery. Matematik Bonnie Stewart sa však vo svojej výnimočnej knihe z roku 1970, „Adventures among the Toroids“, rozhodol preskúmať presný opak. Zaujímali ho mnohosteny s dierami, takzvané toroidy. Tieto objekty sú fascinujúce, pretože narúšajú našu intuíciu o tom, ako by mal „tvar“ vyzerať.

Aby vniesol do tohto zdanlivého chaosu poriadok, Stewart definoval vlastné kritériá. Jeho toroidy musia byť stále zložené z pravidelných mnohouholníkov (trojuholníkov, štvorcov, päťuholníkov atď.) a žiadne dve susedné steny nesmú ležať v rovnakej rovine. Kľúčovou podmienkou však bola takzvaná „kvázi-konvexnosť“. Táto vlastnosť zjednodušene hovorí, že ak by sme teoreticky „zapchali“ všetky diery v objekte, nesmeli by nám vzniknúť žiadne nové hrany na jeho povrchu. Týmto spôsobom zabezpečil, že jeho objekty majú matematicky „čistú“ a dobre definovanú štruktúru.

Lov na „Dierovanú príšeru“

S týmito pravidlami sa Stewart pustil do konštruovania a katalogizácie toroidov. Jeho práca, ktorú celú ručne napísal a nakreslil, je dôkazom neuveriteľnej trpezlivosti a vášne pre geometriu. Postupne vytváral čoraz komplexnejšie štruktúry s viacerými a viacerými dierami (v matematike sa počet dier označuje ako „génus“).

Jeho úsilie vyvrcholilo vytvorením mnohostenu, ktorý istý čas držal rekord v najvyššom génuse. Tento objekt, zložený z 934 stien, mal neuveriteľných 46 dier a získal si prezývku „The Holey Monster“, čiže „Dierovaná príšera“.

Ako to už vo vede býva, rekordy sú na to, aby sa prekonávali. Neskôr Robert Webb, tvorca softvéru Stella, ktorý sa používa na vizualizáciu mnohostenov, posunul hranice ešte ďalej a skonštruoval toroid s génusom 87. Predpokladá sa, že celkový počet takýchto „Stewartových toroidov“ je konečný, no zároveň taký obrovský, že jeho presné určenie zostáva pre matematikov otvorenou výzvou.

Krása v abstraktnej zložitosti

Príbeh „Dierovanej príšery“ je viac než len matematickou kuriozitou. Je to ukážka ľudskej zvedavosti a túžby objavovať a klasifikovať svet okolo nás, aj keď ide o svet abstraktných geometrických tvarov. Práca priekopníkov ako Bonnie Stewart nám pripomína, že matematika nie je len o suchých výpočtoch, ale aj o kreativite, estetike a hľadaní poriadku v zdanlivom chaose. A nabudúce, keď sa pozriete na jednoduchú kocku, spomeňte si, že za jej dokonalou fasádou sa skrýva celý vesmír oveľa zložitejších a dierovanejších príbuzných.

Odkazy a zdroje

Pre tých, ktorí by sa chceli ponoriť do sveta mnohostenov hlbšie, pripájame niekoľko užitočných odkazov spomenutých vo videu:

• Kniha Bonnie Stewarta: Adventures Among the Toroids
• Softvér na vizualizáciu: Stella
• Autor videa Dr. Richard Elwes: Profil na University of Leeds a jeho osobná stránka
• Knihy Richarda Elwesa: Dostupné na Amazone

Približne 238 gCO₂ bolo uvoľnených do atmosféry a na chladenie sa spotrebovalo 1.19 l vody za účelom vygenerovania tohoto článku.